😅信号与系统

一些不是很清醒的状态下的信号与系统知识整理

一些很基础的没有用的东西

😘符号

1.ω0=2πT2.<T>表示任意位置的长度为周期 T 的一段3.<N>表示任意位置的长度为周期 N 的一段4.δTs~(t)=∑n=−∞∞δ(t−nTs)\begin{aligned} 1.&\omega_0=\frac{2\pi}{T}\\ 2.&\left<T\right> \texttt{表示任意位置的长度为周期 T 的一段}\\ 3.&\left<N\right> \texttt{表示任意位置的长度为周期 N 的一段}\\ 4.&\widetilde{\delta_{T_s}}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\\ \end{aligned}

😤变换

🤪傅里叶级数 CFS, DFS

🤣CFS: Continuous Fourier Series

Fk=1T∫<T>x~(t)e−jkω0tdtx~(t)=∑k=−∞∞Fkejkω0t\begin{aligned} &F_k=\frac{1}{T}\int_{\left<T\right>}\widetilde{x}(t)e^{-jk\omega_0t}dt\\ &\widetilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}F_ke^{jk\omega_0t} \end{aligned}

😁DFS: Discrete Fourier Series

Fk=1N∑n∈<N>x~[n]e−jkω0nx~[n]=∑k∈<N>Fkejkω0n\begin{aligned} &F_k=\frac{1}{N}\sum_{n\in \left<N\right>}\widetilde{x}[n]e^{-jk\omega_0n}\\ &\widetilde{x}[n]=\sum_{k\in \left<N\right>}F_ke^{jk\omega_0n} \end{aligned}

😂傅里叶变换 CFT, DTFT

😄CFT: Continuous Fourier Transform

F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt\begin{aligned} &F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\\ \end{aligned}

😆DTFT: Discrete Time Fourier Transform

F(ω)=∑n=−∞∞f[n]e−jωn\begin{aligned} &F(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]e^{-j\omega n}\\ \end{aligned}

😉复频域 LT, ZT

😍拉普拉斯变换

F(s)=∫−∞∞f(t)e−stdt\begin{aligned} &F(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\\ \end{aligned}

😒Z变换

F(z)=∑n=−∞∞f[n]z−n\begin{aligned} &F(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]z^{-n}\\ \end{aligned}

😋性质（主要指一边变化，另一边的影响）

CFT, DTFT, LT, ZT

  1. 线性：略

  2. 时域卷积：等价于频域乘积

  3. 频域卷积：等价于时域乘积（注意 DTFT 是周期卷积）

  4. 时移：乘上对应的指数，收敛域不变

    CFT DTFT
    f(t−t0)f(t-t_0) f[n−n0]f[n-n_0]
    e−jωt0F(ω)e^{-j\omega t_0}F(\omega) e−jΩn0F(Ω)e^{-j\Omega n_0}F(\Omega)
    LT ZT
    f(t−t0)f(t-t_0) f[n−n0]f[n-n_0]
    e−st0F(s)e^{-st_0}F(s) z−n0f[n]z^{-n_0}f[n]

  5. 频移：乘上对应的指数

    CFT DTFT
    ejω0tf(t)e^{j\omega_0t}f(t) ejΩ0nf[n]e^{j\Omega_0n}f[n]
    f(w−w0)f(w-w_0) f(Ω−Ω0)f(\Omega-\Omega_0)
    LT ZT
    es0tf(t)e^{s_0t}f(t) z0nf[n]{\color{red}{z_0}^n}f[n]
    f(s−s0)f(s-s_0)
    ROC: RF+Re{s0}R_F+Re\{s_0\}    		 f(zz0)f({\color{red}\frac{z}{z_0}})
    ROC: ∣z0∣RF\vert z_0\vert R_F

  6. CFT, LT 时域微分 | DTFT, ZT 时域差分（收敛域不变）
    CFT: jwF(w)jwF(w)
    DTFT: (1−ejΩ)F~(Ω){\color{red}(1-e^{j\Omega})}\widetilde{F}(\Omega)
    LT: sF(s)sF(s)
    ZT: (1−z−1)F(z){\color{red}(1-z^{-1})}F(z)

  7. CFT, LT 时域积分 | DTFT, ZT 时域累加
    CFT: 1jwF(w)+πF(0)δ(ω)\frac{1}{jw}F(w)+\pi F(0)\delta(\omega)
    DTFT: 11−ejΩF~(Ω)+πF~(0)∑−∞+∞δ(Ω−2πl){\color{red}\frac{1}{1-e^{j\Omega}}}\widetilde{F}(\Omega)+\pi\widetilde{F}(0)\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\Omega-2\pi l)
    LT: 1sF(s)\frac{1}{s}F(s) ROC：RF∩(Re{s}>0)R_F\cap(Re\{s\}>0)
    ZT: 11−z−1F~(z){\color{red}\frac{1}{1-z^{-1}}}\widetilde{F}(z) ROC：RF∩(∣z∣>1)R_F\cap(|z|>1)

  8. CFT, DTFT 频域微分 | LT, ZT 复频域微分（收敛域不变）
    CFT: −jtf(t)-jtf(t)
    DTFT: −jnf[n]-jnf[n]
    LT: −tf(t)-tf(t)
    ZT: −nf[n]-nf[n]

  9. CFT, DTFT 频域积分
    CFT: 1−jtf(t)+πf(0)δ(t)\frac{1}{-jt}f(t)+\pi f(0)\delta(t)
    DTFT: f[n]−jn\frac{f[n]}{-jn}

  10. 对称性质
    ROC 略去不提，收敛域可以通过 F 的参数推出
    f∗(−x)f*(-x) 略去不提，也可以通过 f(−x)f(-x) 和 f∗(x)f*(x) 的变化推出

    CFT DTFT
    f(−t)⟷CFTF(−ω)f(-t)\stackrel{CFT}{\longleftrightarrow}F(-\omega)
    f∗(t)⟷CFTF∗(−ω)f^*(t)\stackrel{CFT}{\longleftrightarrow}F^*(-\omega)    		 f[−n]⟷DTFTF(−Ω)f[-n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}F(-\Omega)
    f∗[n]⟷DTFTF∗(−Ω)f^*[n]\stackrel{DTFT}{\longleftrightarrow}F^*(-\Omega)

    时域反转：自变量反转
    时域共轭：函数共轭，自变量反转

    LT ZT
    f(−t)⟷LTF(−s)f(-t)\stackrel{LT}{\longleftrightarrow}F(-s)
    f∗(t)⟷LTF∗(s∗)f^*(t)\stackrel{LT}{\longleftrightarrow}F^*(s^*)    		 f[−n]⟷ZTF(1z)f[-n]\stackrel{ZT}{\longleftrightarrow}F({\color{red}\frac{1}{z}})
    f∗[n]⟷ZTF∗(z∗)f^*[n]\stackrel{ZT}{\longleftrightarrow}F^*(z^*)

    时域反转：LT 自变量反转，ZT 自变量倒数（ZT 又是比较特殊）
    时域共轭：函数共轭，自变量共轭

😎抽样定理

😜时域抽样定理

抽样方案

xp(t)=x(t)δTs~(t)=∑n=−∞∞x(nTs)δ(t−nTs)\begin{aligned} x_p(t)&=x(t)\widetilde{\delta_{T_s}}(t)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s) \end{aligned}

记 p(t)=δTs~(t)p(t)=\widetilde{\delta_{T_s}}(t) 则有 xp(t)=x(t)p(t)x_p(t)=x(t)p(t)

P(ω)=ωs∑k=−∞∞δ(ω−kωs)⇒Xp(ω)=12πX(ω)∗P(ω)=ωs2π∑k=−∞∞X(ω−kωs)=1Ts∑k=−∞∞X(ω−kωs)\begin{aligned} P(\omega)&=\omega_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-k\omega_s)\\ \Rightarrow X_p(\omega)&=\frac{1}{2\pi}X(\omega)*P(\omega)\\ &=\frac{\omega_s}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega-k\omega_s)\\ &=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega-k\omega_s)\\ \end{aligned}

理想低通滤波器

HL(ω)={Ts,∣ω∣≤ωc0,∣ω∣>ωc,ωM<ωc<(ωs−ωM)H_L(\omega)=\begin{cases} T_s,&\vert\omega\vert\leq\omega_c\\ 0,&\vert\omega\vert>\omega_c\\ \end{cases}, \quad \omega_M<\omega_c<(\omega_s-\omega_M)

已抽样输出

Xr(ω)=Xp(ω)HL(ω)=1Ts∑k=−∞∞X(ω−kωs)HL(ω)X_r(\omega)=X_p(\omega)H_L(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega-k\omega_s)H_L(\omega)

  • ✅ 临界抽样 wsmin⁡=2ωMw_{s\min} = 2\omega_M 或 Tsmax⁡=πωMT_{s\max} = \frac{\pi}{\omega_M}
  • ✅ 过抽样 ws>wsmin⁡w_s > w_{s\min} 或 Ts<Tsmax⁡T_s < T_{s\max}
  • ❌ 欠抽样 ws<wsmin⁡w_s < w_{s\min} 或 Ts>Tsmax⁡T_s > T_{s\max}

前两者可以恢复 X(ω)=Xr(ω)X(\omega)=X_r(\omega)

wc=ωs2w_c = \frac{\omega_s}{2} 时，hL(t)=TswcπSa(wct)h_L(t)=T_s\frac{w_c}{\pi}Sa(w_ct)，
x(t)=∑n=−∞∞x(nTs)Sa(πT(t−nTs))x(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)Sa(\frac{\pi}{T}(t-nT_s))

😝频域抽样定理

若 x(t)x(t) 是一个时域宽度有限（时限）的信号，即 x(t)⟷CFTX(ω)x(t)\overset{CFT}{\longleftrightarrow}X(\omega)，且 t∉<TM>t\not\in \left<T_M\right> 时 x(t)=0x(t)=0 样本间隔 ω0≤2πTM\omega_0\le \frac{2\pi}{T_M} 或 2πω0≥TM\frac{2\pi}{\omega_0}\ge T_M

P(ω)=∑k=−∞∞δ(ω−kωs)⇒Xs(ω)=X(ω)P(ω)=∑k=−∞∞X(kω0)δ(ω−kω0)p(t)=1ω0∑k=−∞∞δ(t−mT0)⇒xs(t)=x(t)∗p(t)=1ω0∑k=−∞∞x(t−mT0)rT(t)={ω0,t∈<TM>0,t∉<TM>x(t)=xs(t)rT(t)X(ω)=12πXs(ω)∗RT(ω)\begin{aligned} P(\omega)&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-k\omega_s)\\ \Rightarrow X_s(\omega)&=X(\omega)P(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k\omega_0)\delta(\omega-k\omega_0)\\ p(t)&=\frac{1}{\omega_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-mT_0)\\ \Rightarrow x_s(t)&=x(t)*p(t)=\frac{1}{\omega_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(t-mT_0)\\ r_T(t)&=\begin{cases} \omega_0,&t\in \left<T_M\right>\\ 0,&t\not\in \left<T_M\right>\\ \end{cases}\\ x(t)&=x_s(t)r_T(t)\\ X(\omega)&=\frac{1}{2\pi}X_s(\omega)*R_T(\omega) \end{aligned}